2017
文 / 大壮小美妈
今天的内容包括：
1. 幼儿及小学数学教育的基本原则
2. 中美数学教育的比较（幼儿和基础教育，学校部分）
3. 美国的数学教育研究成果
幼儿及小学数学教育的基本原则
是应该注重深入理解还是题海战术抓熟练性
在数学教育问题上，理解派和题海派之间的争论就没停过。没人否定理解的重要性，但是在需不需要大量做练习，需不需要背10，20以内的加减法数字组合，需不需要乘法表这种问题上，一直争论不断：
既然有了计算器，考试也可以看乘法表，为什么还需要把这些组合背下来？
如果小朋友能理解乘法就是连加，那一个个加上去不也能算出来么？无非是慢点，但也不能算什么大问题吧。
既然小朋友能数手指头脚趾头凭空想物件来做加减法，那为什么一定要把10以内的加减组合背熟？
认知学领域的（新）概念cognitive load theory,（认知负荷理论）表明：在学习一个概念的短暂的时间内，学起来越费劲儿，需要想的步骤多，理解的跨度大，学习效果越不好。所以，在设计学习活动的时候，为了提高学习效率，就要尽量把学习过程设计得不要那么费劲。
怎么能不费劲呢？就是尽量利用现有的知识，把学习目标定到跟现有知识很相近的高度，这样难度不会跳度太大，容易循序渐进的学。
比如分数除法：3/4除以 3/8，基本步骤包括：
a) 除以3/8 等于乘于8/3;
b) 3/4 乘于 8/3的计算;
c) 约分
这里面每一步的知识点都应该事先熟知熟记。
1) 除于一个数等于乘于这个数的倒数；
2）分数相乘等于分子相乘，分母相乘；
3）约分就是要除以最大公倍数
如果任何一步在学分数除法之前没学通，那就费劲了。死记硬背过两天肯定忘，有时候纠结于细节会根本忘记自己的目的是什么。比如不会背乘法表，等分母相乘，分子相乘的时候，一个个叠加，等好不容易叠加完了，都压根忘了自己到底为啥要叠加，忘了自己做着分数除法呢。
所以在理解的基础上，应该把那些基本的加减数字组合、乘法表什么的背熟了，在以后学到更深的相关知识点的时候，能快速准确的直接从长期记忆里把这些知识点抽出来用，减少短期记忆的认知负荷量，学起来没那么费劲，学习效果也好。
遇到讲不通的题，怎么办？
经常看到有妈妈描述自己给小朋友教最最基本的数学概念，比如数数、加减法应用题、加减法的进退位，小朋友怎么都弄不懂，最后家长跟小朋友死扛，扛半个小时一个小时，弄得双方都身心疲惫还是弄不懂。
学习数学概念，特别是很多大人觉得自然而然就能理解的概念，真是没那么简单的。而且小朋友学不学得懂，跟他们的心情、身体和脑力的疲惫程度很有关系。这种情况下，死扛是最没用的，而且还有后患--人家以后也不喜欢跟爸爸妈妈聊数学学数学了。
很多时候，以退为进，在小朋友开始显示出不在状态的时候，就果断立马撤，不要等到他们开始叽歪抱怨。这样一来，这次的学习经历就是以积极的状态结束的，会让他们对这个过程留下一个积极的印象。
同时，这种家长跟小朋友一起坐下来“好好学数学”，往往小朋友压根就不在状态。那么什么时候算是“在状态”呢？
教育契机
这里再介绍一个概念：teachable moment（教育契机）。这种契机一般都是非计划的，小朋友身处某个情景突然自发的对一个话题感兴趣。如果家长能抓住这种契机，利用当时的环境和随身的物品向小朋友解释他/她感兴趣的这个概念，或者稍微引申一下，小朋友对这个概念的理解会容易很多，而且理解得特别深刻。
举个例子，一年前大壮五岁的时候，跟他讲乘法的话他肯定一头雾水（我们家不是神童，我也不是虎妈推妈）。但是有一次带他去超市买菜，超市有个促销：某些东西，买8个的话，每个便宜一块钱。他在那儿饶有兴趣地算“买了8个就是便宜了八块钱”，我顺口问了他句“如果每个便宜两块钱呢？”他两块两块地叠加了八次，算出来了16，特得意。又问每个便宜三块钱呢，又叠出来了24。这绝不是计划出来的乘法教学，但是正好碰上了，他又感兴趣，这叠加的概念就自然而然的被他自己想出来了。
所以说，对于小朋友来说，特别是幼儿园和小学低年级的小朋友，寓教于乐抓住教育契机，比坐桌边上好好学，做练习题，送补习班有效得多。而且，数学的最根本意义不就是“通过对数的运用，让生活变大更轻松容易点”么，这些寓教于乐才更真实的体现了这一点。
学习的信心，对自身能力的认识
人对自身能力的认知是觉得能力是天生的呢，还是后天通过学习获得的？
如果认同能力是天生的，那学习的目的就是去展示自己已有的能力去证明自己的智慧。这种认识会让人在面对错误和挫折的时候有很严重的挫折感，会不敢面对挑战，宁愿为了避免失败的可能性而错失机会......
如果觉得能力是通过后天学习获得的，那么学习过程就是一个不断进步的过程，会用于面对失败和挑战，扛挫折能力也强。
一系列的跨文化跨国家研究结果一致表明：中国家长和小朋友（准确说是东亚几国的家长和小朋友），都是很强烈的持有第二种看法：能力是通过学习而获得的；相比而言，西方国家，特别是美国，持有第一种观点的比例大很多很多。所以，为华人家长和小朋友鼓掌！！！
自信心和学习效果的关系
世面上流行讨论这样一个对比：虽然美国学生的数学成绩没有中国学生好，但是人对自己数学能力的自信心比中国学生强很多。这样是不是表明了学习成绩再好也没用？因为会被自信心打垮？
在心理学的研究领域中，有一系列专门研究自信心/自我评价和学习效果的直接联系，猜猜是高自信还是低自信更有利于学习？
研究结果表明，对自己最符合实际最客观的评价和自信，才是最有利益学习的。
所以为了鼓励小朋友的学习兴趣，空洞的表扬小朋友，夸大小朋友的实际能力，让小朋友形成架空于现实的自信心，对学习也同样负面。因为孩子总归会有面对现实的一天，或者从各种小细节里捕捉到跟自己高自信不符合的低能力，一旦架空的自信散了架，后果更毁灭。
怎么样才能帮助小朋友形成符合实际的自我评价？
对于错误，具体错误具体分析。不要怕伤了小朋友自信心而去掩盖错误，也不要上纲上线夸大错误的原因和影响。哪个概念没理解好，就这个概念分析分析，找找能有帮助的学习方法去改进就好了。
对于优点和好成绩，具体的描述性的夸奖，别光说什么真聪明啊之类的空话，要具体描述那个问题的回答怎么精彩了，怎么自己想到了独创的解题方法了。
跟自己比，别跟别人比。哪些概念，上个星期或者上个月还弄不明白呢，现在懂了，那就说明学习和练习起到了效果，把这个告诉小朋友。
学会分析成功和失败
每个人在学习生活中，成败是必不可少的经历，教会小朋友怎么分析错误对待事情的结果，可以帮助他们从容面对挑战，失败和成功。
怎么才能客观分析对错输赢？我们细化成三个角度，立马一目了然：
1.内因（自己的因素）还是外因（别人，环境，社会的因素）
2.是否可以受自己的掌控（无论内因外因，都有自己可以控制和不可以控制的因素）
3.是否会发生变化 （内因外因，无论是否自己掌控的，都有可能变化或者保持）
这三个角度，家长可以借此来分析小朋友的学习情况，也可以帮助小朋友慢慢学会分析成败的原因。
如果失败是因为不在自己掌控之内的外因，而且也不会变化的，那就别去纠结；如果可能变化，那就耐心等待；对于自己可以掌控的内外因，那就积极多努力。
中美数学教育的比较
这里说的比较，是比较两国的普遍情况，不会钻牛角尖的从哪儿找出个跟全国普遍状况完全不一样的学校/老师来抬杠。跨国的数学教育对比研究来说，比得最多的就是以下这三个方面：
1.教材结构和内容
2.老师对数学的理解以及教师资格及培养体系
3.教学方法
教材的结构和内容
中国的数学教材结构和内容，跟日本韩国新加坡是极为相似的，都是每个学期所包括的概念不多（大概5-6个），每个概念讲深讲透，而且教学以应用题开始介绍一个概念，以大量应用题结束一个概念（虽然应用题的内容并不一定多现实，比如游泳池一边加水一边放水，但是至少是应用题，不能光靠背公式就解决了的）。
美国在过去的5-15年内最普遍的结构叫做spiral，螺旋式的进阶，就是每个学期都把很多（二十多个）过一遍，每个概念比之前一年在难度上稍微进阶一点。
美国这种结构的效果可想而知：
每次学得都不深入，理解不深，练习做得少，等到第二年的时候自然没剩下啥，于是还得再花时间复习，最后再剩那么一点点的时间教新的，如此恶性循环。
应用题类型少，数量少。比如，加减法的应用题，永远就是谁多拿了几块糖，吃掉了几个饼干之类的（不像中国的加减法应用题里有合并两组，或者数量比较的概念）；再比如分数，永远是分pizza切蛋糕（中国的有速度问题，工作效率问题等等）。
还有个直接影响教学的因素，就是中美教师的师资培养和数学教育水平了。
老师对数学的理解以及教师资格及培养体系
说到中美小学老师的数学能力（他们自己对数学的认识）和教学能力，最直观明了的一份研究就是马力平的博士论文（没错，就是那个现在在专门开中文学校，出中文教材的马力平）。
这份研究借助四个数学概念（需要借位的减法，多位数乘法，分数除法，以及周长和面积的关系），对中美老师对于这四个概念的理解和对这四个概念的教学做了对比研究。研究结果表明，美国老师无论是在对概念的理解还是教学上都到了惨不忍睹的地步。
为什么美国小学老师的数学教学水平如此惨不忍睹呢？
在中国，即使是小学，老师也是专科教学的，有专门的数学老师教数学，这些数学老师在师范的时候就是数学教育专业的，花了2-4年专门学习怎么教数学的。美国呢？小学老师是一锅端教所有科目的，英文阅读写作数学社会历史一系列，每天每科挨着上。大学学教育拿小学教师认证的时候，数学教学也只是两三门课的事儿，蜻蜓点水的就过了。而且大部分美国小学老师兴趣都在教阅读和写作，很少有喜欢数学的，所以对于数学教育，很多是处于能应付过去就算了的态度和水平。
说到这里有人会问了，日本的小学老师也是一个人教所有科啊，可是日本小学生的数学就学得很好，怎么解释？这就要说到教育学本科生的入学的水平。在美国，教育学的平均本科入学成绩（sat）基本是所有专业里最低的，小学教育学的本科学位也是最容易到手的学位之一。
研究再表明，美国数学教育本科生的数学水平，远不及中国的初中毕业生的数学水平。（美国的不少私校老师和少数公校老师算例外的，经常是经济学或者其他数学要求高的本科毕业生，对教育产生了兴趣，转行去当老师的）。
所以，美国的小学教育专业毕业的老师们，本来数学就不好，又没怎么专门学习如何教数学，那肯定教学质量非常有限。但是到了初中高中情况就完全不同了，因为美国的教师资格认证规定，初高中的老师需要在专业（数学）和教育学都拿到本科学历，所以初高中的数学老师就是既懂数学又懂教育的。
老师数学教的好不好，除了一开始的数学能力，本科学习的时候有没有接受大量的培训，最后还有一项：在职时期的能力培养。
在中国，数学老师有数学老师教研组，平时经常聚一起聊聊数学教学，聊聊学生作业，考试成绩，上课的效果。美国呢，每个老师全天都呆在自己班的教室里，互相之间除了偶尔茶余饭后聊个家常，就压根没关于教学的交流。这么看来，美国的小学老师还真是很孤单挺可怜的。
课堂教学方法
介绍新概念
以前我上过一门专门是数学教育跨国研究的课，我们看了日本、香港、和美国的小学老师上数学课的录像。
在介绍一个新概念的时候，日本和香港的老师（跟中国老师的教学方法一样），都是以已知的旧概念为基础，一层层的叠问问题，引导学生去思索新问题的解决方法和新概念的定义，最后老师总结一下学生所推理出来的新概念的定义或者新问题的解题步骤。
美国的老师，花很短时间或者完全没有介绍之前的相关知识，一上来就说今天介绍某某新概念或者新的解题方法，然后直接把概念的定义或者解题方法列出来了，再给一道例题演示给学生看如果运用这个新方法/概念，接下来就是让学生用那个新方法自己做题。
当时那门课上美国学生和亚裔学生差不多一半一半，看完录像后，大家的第一反应都是问对方“how did you guys learn（你们怎么学会的）?"
亚裔学生惊讶的是，美国老师这么不带讨论不带提问引导的，就是把概念扔出来，学生怎么能理解。
美国学生惊讶的是，你们这些老师从头到尾都没说清楚解题步骤和概念的含义，就这么不停问问题，让学生自己凑答案，也能算是教书？
各种研究表明，老师的教学方法基本上就是延续自己上学的时候被教的方法，自己小时候怎么学的，长大了以后也就怎么教。所以这俩截然不同的教学方法，估计还会继续传下去。
如何对待错误的答案
我的博士生导师带着我们一帮人，专门做过一系列研究，就是比较中美的小学数学老师在课堂上如何跟小朋友进行问答，特别是小朋友回答错误的时候，老师如何应对。其实两国老师的应对，跟他们怎么介绍新概念，还是挺有一致性的。
美国的老师，如果一个小朋友回答错了，一般就直接说哦，其实正确的方法应该是如何如何，自己解释一遍。最多再问另外一个小朋友应该是什么答案，反正就是直奔正确答案，对错误答案没任何再追问。
中国老师就完全不一样了，一个小朋友答错了，不管问不问其他小朋友，都会再把注意力引回第一个错误答案，让全班（或者个别的其他同学）判断第一个答案是否正确，如果不对的话，错哪儿了。中国老师会具体到细小的一个步骤，分析这个错误可能是哪个概念没理解透。然后再回到第一个回答错误的小朋友那儿，问他/她现在知不知道为什么错了，应该是怎么解答。
中国老师会揪着错误反复分析，但目的并不是给回答问题错误的小朋友难堪，而是把错误的原因，潜在的概念理解错误给找到，然后对症下药。
这两种截然不同的对待错误的方法，哪种更有利于学生进步，虽然还没有进一步的对比实验，但是根据咱们之前在介绍学习的信心，对自己能力的认识的时候提到的理论，应该不难预测哪种方法更有利于学生从错误中进步。
美国的数学教育研究
美国的研究体系
以下列举近二三十年来美国幼小数学教育领域方面的一些研究成果。
成果
关于数学教学方法：
manipulative：可以让小朋友摆弄的实物教具，不会阻碍小朋友理解抽象的逻辑思维和解题方法。相反，通过manipulative学习的小朋友，因为对自己的数学理解有充分的信心，在之后的数学学习中更容易研究出/理解抽象和复杂的解题方法，而不只是按部就班的按公式解题。
怕小朋友用在最初阶段用实物解题，担心会阻碍小朋友的抽象思维形成，而硬性地过早的给小朋友灌输公式和复杂的解题方法，反而阻碍了小朋友对数的理解，加大了之后的抽象思维和数学学习的难度。
flash cards(闪卡）这种死记硬背的模式，虽然没坏处，但是对于数学学习也没帮助。因为小朋友的记忆过程中没有理解的因素，记住的内容也只能运用在死记硬背的问答中，一旦问题的形式有任何变化，小朋友没办法把记住的内容灵活运用到其它问题中。
number line(数轴），只有在给小朋友可以自己动手比划，对准数字，把具体的比划和写等式这两项联系起来的情况下，才有助于小朋友对数的理解。如果只是挂墙上让小朋友看着做算术，小朋友会更懵。
虽然flashcard死记硬背没用，但是速算（计时练习）益处多多。在小朋友通过理解掌握了加减法的规律后，提高计算速度有利于熟悉计算规律和熟记20以内的加减组合。
subtizing：看数，就是根据物体的摆放规律，或者某个数目的实物的常见摆放，一眼看出来是几个，而非一个个数出来。
看数是小朋友最早接触数学时的认数方法。很多小朋友一两岁的时候可以知道一个、两个、三个，但是数不出来4，5，6个，因为小朋友认1，2，3是把实物的摆放像认abc那么认出来的，不是数出来的，所以再多了就不行了，因为压根不会数。
看数其实是对数学学习和数感培养很有效的数字理解和认识方法，但是往往不被老师和家长所知，所以越后来越被压抑了。
举个例子，小朋友如果能一眼看出3个，4个，数过几次得出来3 4=7之后，以后再看3和4，不用数，能通过视觉记忆知道是7。
这种看数还可以延伸到位值的理解和应用（凑十，或者对十几这种数的理解）。
但是老师，特别是美国老师，只强调数数，无论加减还是认数都让小朋友去数，小朋友这种subtizing的认数能力被压抑，到最后基本就消失了。对数的形象理解减弱了，还有很多简便算法的理解也变的困难了。
数学题/数学书中跟题目本身无关的插图，对小朋友解题没有帮助。小朋友或者会自动忽略这些无关的插图，或者被这些插图误导以为跟题目有关，都无意于数学学习。所以在编数学题/数学书的时候，应该避免这种纯装饰性的插图。
关于游戏以及在玩中学习：
在游戏过程中，为了想赢，小朋友会主动地提高自己的注意力和行为控制能力，游戏中的思维会比平时的日常行为更认真更积极用心。
但是，不是随便什么形式的玩都对数学学习有帮助的。有些家长以为生活中反正渗透了数字和数学，所以小朋友会自己留心自然而然的从中学习到数学知识。并非如此，对于小朋友，如果没有其他人的引导，他们很难主动留意到关于数的信息。不带任何引导的所谓“发掘性学习”对小朋友的数学学习没有帮助。
对小朋友数学学习最有效的方法，是带引导性的开放型问题。一方面给小朋友设置好某个知识点的学习环境，在需要的时候提供指引和解释，一方面给小朋友自己寻找解题方法的自由空间，最佳的是再提供小朋友之间的讨论和互相帮助的机会。
开放型的问题，加上允许小朋友自己开发解题方法的自由，无论对于成绩落后学习困难（atrisk)，成绩普通，还是天才班（gifted)的小朋友，都是最好的学习方式。因为小朋友可以把解题方法建立在自己已有知识体系上，保证了小朋友不是凭空地模仿某种解题方式，而是真正理解了其中的数学含义。
数学学习的兴趣和主动性
除了之前提到的引导小朋友认识到学习是一个进步的过程，以及学会客观的分析自己的能力，各种专门针对数学学习的研究还表明，以下做法有助于增加小朋友对数学学习的积极主动性和兴趣。
把数学题设置在小朋友感兴趣，能理解的情景里。
允许小朋友自己发明，解释，使用他们自己的解题方法，并对自己的方法成不成功做出评论和改进。
鼓励小朋友逐步地采取更有效/简便的解题方法，让他们理解到数学的乐趣和意义。
帮助小朋友认识到不同数学概念之间的联系，而不是单一的独立的一串定义和公式。
老师（美国）和家长在幼小阶段对小朋友数学学习的作用
美国的幼儿园和小学低年级的老师，对阅读和写作的重视度和教学时间远远高于数学。
美国的家长，同样的对阅读和写作的重视度和帮助小朋友学习时间远远高于数学。他们认为学会阅读是所有学科的基础。
中国家长认为阅读和数学同样重要。
家庭中最基本的数学活动，比如数数，比大小，比多少，对加减法基本概念的解释，学习时间，钱币等等，都密切的影响到小朋友（特别是女生）的数学能力。
统计数据表明，家长跟小朋友进行的数学相关的互动（学习，游戏，聊天，生活中的小活动）越多，小朋友之后的学习成绩越好。
但是，家庭中零星断断续续的间接数学活动，与小朋友的数学成绩直接并没有直接的正向联系。有计划性的，由浅入深地，难度渐进的引导性的数学活动才最有力于小朋友的数学学习。
小灯塔的儿童教育心理学专栏一直是由uiuc教育心理学博士大壮小美妈精心打造。什么是教育心理学？是研究怎么对付有心理问题的小朋友的吗？
其实在美国，基本上跟人的教育/思维/行为有关的都能划到教育心理学里去：学语言，学数学，学科学，学习怎么跟人合作，怎么分析成功失败…包含的人群也很广泛：小baby、学前儿童、学龄儿童、高中生、大学生、成年人、老年人。
大壮小美妈一直做的是两方面的研究：
✦ 小朋友的学习动机动力
✦ 幼儿及小学的数学教育
今天小灯塔专门请大壮小美妈为我们讲讲关于幼小数学教育的那些事儿。
今天的内容包括：
1. 幼儿及小学数学教育的基本原则
2. 中美数学教育的比较（幼儿和基础教育，学校部分）
3. 美国的数学教育研究成果
幼儿及小学数学教育的基本原则
是应该注重深入理解还是题海战术抓熟练性
在数学教育问题上，理解派和题海派之间的争论就没停过。没人否定理解的重要性，但是在需不需要大量做练习，需不需要背10，20以内的加减法数字组合，需不需要乘法表这种问题上，一直争论不断：
既然有了计算器，考试也可以看乘法表，为什么还需要把这些组合背下来？
如果小朋友能理解乘法就是连加，那一个个加上去不也能算出来么？无非是慢点，但也不能算什么大问题吧。
既然小朋友能数手指头脚趾头凭空想物件来做加减法，那为什么一定要把10以内的加减组合背熟？
认知学领域的（新）概念cognitive load theory,（认知负荷理论）表明：在学习一个概念的短暂的时间内，学起来越费劲儿，需要想的步骤多，理解的跨度大，学习效果越不好。所以，在设计学习活动的时候，为了提高学习效率，就要尽量把学习过程设计得不要那么费劲。
怎么能不费劲呢？就是尽量利用现有的知识，把学习目标定到跟现有知识很相近的高度，这样难度不会跳度太大，容易循序渐进的学。
比如分数除法：3/4除以 3/8，基本步骤包括：
a) 除以3/8 等于乘于8/3;
b) 3/4 乘于 8/3的计算;
c) 约分
这里面每一步的知识点都应该事先熟知熟记。
1) 除于一个数等于乘于这个数的倒数；
2）分数相乘等于分子相乘，分母相乘；
3）约分就是要除以最大公倍数
如果任何一步在学分数除法之前没学通，那就费劲了。死记硬背过两天肯定忘，有时候纠结于细节会根本忘记自己的目的是什么。比如不会背乘法表，等分母相乘，分子相乘的时候，一个个叠加，等好不容易叠加完了，都压根忘了自己到底为啥要叠加，忘了自己做着分数除法呢。
所以在理解的基础上，应该把那些基本的加减数字组合、乘法表什么的背熟了，在以后学到更深的相关知识点的时候，能快速准确的直接从长期记忆里把这些知识点抽出来用，减少短期记忆的认知负荷量，学起来没那么费劲，学习效果也好。
遇到讲不通的题，怎么办？
经常看到有妈妈描述自己给小朋友教最最基本的数学概念，比如数数、加减法应用题、加减法的进退位，小朋友怎么都弄不懂，最后家长跟小朋友死扛，扛半个小时一个小时，弄得双方都身心疲惫还是弄不懂。
学习数学概念，特别是很多大人觉得自然而然就能理解的概念，真是没那么简单的。而且小朋友学不学得懂，跟他们的心情、身体和脑力的疲惫程度很有关系。这种情况下，死扛是最没用的，而且还有后患--人家以后也不喜欢跟爸爸妈妈聊数学学数学了。
很多时候，以退为进，在小朋友开始显示出不在状态的时候，就果断立马撤，不要等到他们开始叽歪抱怨。这样一来，这次的学习经历就是以积极的状态结束的，会让他们对这个过程留下一个积极的印象。
同时，这种家长跟小朋友一起坐下来“好好学数学”，往往小朋友压根就不在状态。那么什么时候算是“在状态”呢？
教育契机
这里再介绍一个概念：teachable moment（教育契机）。这种契机一般都是非计划的，小朋友身处某个情景突然自发的对一个话题感兴趣。如果家长能抓住这种契机，利用当时的环境和随身的物品向小朋友解释他/她感兴趣的这个概念，或者稍微引申一下，小朋友对这个概念的理解会容易很多，而且理解得特别深刻。
举个例子，一年前大壮五岁的时候，跟他讲乘法的话他肯定一头雾水（我们家不是神童，我也不是虎妈推妈）。但是有一次带他去超市买菜，超市有个促销：某些东西，买8个的话，每个便宜一块钱。他在那儿饶有兴趣地算“买了8个就是便宜了八块钱”，我顺口问了他句“如果每个便宜两块钱呢？”他两块两块地叠加了八次，算出来了16，特得意。又问每个便宜三块钱呢，又叠出来了24。这绝不是计划出来的乘法教学，但是正好碰上了，他又感兴趣，这叠加的概念就自然而然的被他自己想出来了。
所以说，对于小朋友来说，特别是幼儿园和小学低年级的小朋友，寓教于乐抓住教育契机，比坐桌边上好好学，做练习题，送补习班有效得多。而且，数学的最根本意义不就是“通过对数的运用，让生活变大更轻松容易点”么，这些寓教于乐才更真实的体现了这一点。
学习的信心，对自身能力的认识
人对自身能力的认知是觉得能力是天生的呢，还是后天通过学习获得的？
如果认同能力是天生的，那学习的目的就是去展示自己已有的能力去证明自己的智慧。这种认识会让人在面对错误和挫折的时候有很严重的挫折感，会不敢面对挑战，宁愿为了避免失败的可能性而错失机会......
如果觉得能力是通过后天学习获得的，那么学习过程就是一个不断进步的过程，会用于面对失败和挑战，扛挫折能力也强。
一系列的跨文化跨国家研究结果一致表明：中国家长和小朋友（准确说是东亚几国的家长和小朋友），都是很强烈的持有第二种看法：能力是通过学习而获得的；相比而言，西方国家，特别是美国，持有第一种观点的比例大很多很多。所以，为华人家长和小朋友鼓掌！！！
自信心和学习效果的关系
世面上流行讨论这样一个对比：虽然美国学生的数学成绩没有中国学生好，但是人对自己数学能力的自信心比中国学生强很多。这样是不是表明了学习成绩再好也没用？因为会被自信心打垮？
在心理学的研究领域中，有一系列专门研究自信心/自我评价和学习效果的直接联系，猜猜是高自信还是低自信更有利于学习？
研究结果表明，对自己最符合实际最客观的评价和自信，才是最有利益学习的。
所以为了鼓励小朋友的学习兴趣，空洞的表扬小朋友，夸大小朋友的实际能力，让小朋友形成架空于现实的自信心，对学习也同样负面。因为孩子总归会有面对现实的一天，或者从各种小细节里捕捉到跟自己高自信不符合的低能力，一旦架空的自信散了架，后果更毁灭。
怎么样才能帮助小朋友形成符合实际的自我评价？
对于错误，具体错误具体分析。不要怕伤了小朋友自信心而去掩盖错误，也不要上纲上线夸大错误的原因和影响。哪个概念没理解好，就这个概念分析分析，找找能有帮助的学习方法去改进就好了。
对于优点和好成绩，具体的描述性的夸奖，别光说什么真聪明啊之类的空话，要具体描述那个问题的回答怎么精彩了，怎么自己想到了独创的解题方法了。
跟自己比，别跟别人比。哪些概念，上个星期或者上个月还弄不明白呢，现在懂了，那就说明学习和练习起到了效果，把这个告诉小朋友。
学会分析成功和失败
每个人在学习生活中，成败是必不可少的经历，教会小朋友怎么分析错误对待事情的结果，可以帮助他们从容面对挑战，失败和成功。
怎么才能客观分析对错输赢？我们细化成三个角度，立马一目了然：
1.内因（自己的因素）还是外因（别人，环境，社会的因素）
2.是否可以受自己的掌控（无论内因外因，都有自己可以控制和不可以控制的因素）
3.是否会发生变化 （内因外因，无论是否自己掌控的，都有可能变化或者保持）
这三个角度，家长可以借此来分析小朋友的学习情况，也可以帮助小朋友慢慢学会分析成败的原因。
如果失败是因为不在自己掌控之内的外因，而且也不会变化的，那就别去纠结；如果可能变化，那就耐心等待；对于自己可以掌控的内外因，那就积极多努力。
中美数学教育的比较
这里说的比较，是比较两国的普遍情况，不会钻牛角尖的从哪儿找出个跟全国普遍状况完全不一样的学校/老师来抬杠。跨国的数学教育对比研究来说，比得最多的就是以下这三个方面：
1.教材结构和内容
2.老师对数学的理解以及教师资格及培养体系
3.教学方法
教材的结构和内容
中国的数学教材结构和内容，跟日本韩国新加坡是极为相似的，都是每个学期所包括的概念不多（大概5-6个），每个概念讲深讲透，而且教学以应用题开始介绍一个概念，以大量应用题结束一个概念（虽然应用题的内容并不一定多现实，比如游泳池一边加水一边放水，但是至少是应用题，不能光靠背公式就解决了的）。
美国在过去的5-15年内最普遍的结构叫做spiral，螺旋式的进阶，就是每个学期都把很多（二十多个）过一遍，每个概念比之前一年在难度上稍微进阶一点。
美国这种结构的效果可想而知：
每次学得都不深入，理解不深，练习做得少，等到第二年的时候自然没剩下啥，于是还得再花时间复习，最后再剩那么一点点的时间教新的，如此恶性循环。
应用题类型少，数量少。比如，加减法的应用题，永远就是谁多拿了几块糖，吃掉了几个饼干之类的（不像中国的加减法应用题里有合并两组，或者数量比较的概念）；再比如分数，永远是分pizza切蛋糕（中国的有速度问题，工作效率问题等等）。
还有个直接影响教学的因素，就是中美教师的师资培养和数学教育水平了。
老师对数学的理解以及教师资格及培养体系
说到中美小学老师的数学能力（他们自己对数学的认识）和教学能力，最直观明了的一份研究就是马力平的博士论文（没错，就是那个现在在专门开中文学校，出中文教材的马力平）。
这份研究借助四个数学概念（需要借位的减法，多位数乘法，分数除法，以及周长和面积的关系），对中美老师对于这四个概念的理解和对这四个概念的教学做了对比研究。研究结果表明，美国老师无论是在对概念的理解还是教学上都到了惨不忍睹的地步。
为什么美国小学老师的数学教学水平如此惨不忍睹呢？
在中国，即使是小学，老师也是专科教学的，有专门的数学老师教数学，这些数学老师在师范的时候就是数学教育专业的，花了2-4年专门学习怎么教数学的。美国呢？小学老师是一锅端教所有科目的，英文阅读写作数学社会历史一系列，每天每科挨着上。大学学教育拿小学教师认证的时候，数学教学也只是两三门课的事儿，蜻蜓点水的就过了。而且大部分美国小学老师兴趣都在教阅读和写作，很少有喜欢数学的，所以对于数学教育，很多是处于能应付过去就算了的态度和水平。
说到这里有人会问了，日本的小学老师也是一个人教所有科啊，可是日本小学生的数学就学得很好，怎么解释？这就要说到教育学本科生的入学的水平。在美国，教育学的平均本科入学成绩（sat）基本是所有专业里最低的，小学教育学的本科学位也是最容易到手的学位之一。
研究再表明，美国数学教育本科生的数学水平，远不及中国的初中毕业生的数学水平。（美国的不少私校老师和少数公校老师算例外的，经常是经济学或者其他数学要求高的本科毕业生，对教育产生了兴趣，转行去当老师的）。
所以，美国的小学教育专业毕业的老师们，本来数学就不好，又没怎么专门学习如何教数学，那肯定教学质量非常有限。但是到了初中高中情况就完全不同了，因为美国的教师资格认证规定，初高中的老师需要在专业（数学）和教育学都拿到本科学历，所以初高中的数学老师就是既懂数学又懂教育的。
老师数学教的好不好，除了一开始的数学能力，本科学习的时候有没有接受大量的培训，最后还有一项：在职时期的能力培养。
在中国，数学老师有数学老师教研组，平时经常聚一起聊聊数学教学，聊聊学生作业，考试成绩，上课的效果。美国呢，每个老师全天都呆在自己班的教室里，互相之间除了偶尔茶余饭后聊个家常，就压根没关于教学的交流。这么看来，美国的小学老师还真是很孤单挺可怜的。
课堂教学方法
介绍新概念
以前我上过一门专门是数学教育跨国研究的课，我们看了日本、香港、和美国的小学老师上数学课的录像。
在介绍一个新概念的时候，日本和香港的老师（跟中国老师的教学方法一样），都是以已知的旧概念为基础，一层层的叠问问题，引导学生去思索新问题的解决方法和新概念的定义，最后老师总结一下学生所推理出来的新概念的定义或者新问题的解题步骤。
美国的老师，花很短时间或者完全没有介绍之前的相关知识，一上来就说今天介绍某某新概念或者新的解题方法，然后直接把概念的定义或者解题方法列出来了，再给一道例题演示给学生看如果运用这个新方法/概念，接下来就是让学生用那个新方法自己做题。
当时那门课上美国学生和亚裔学生差不多一半一半，看完录像后，大家的第一反应都是问对方“how did you guys learn（你们怎么学会的）?"
亚裔学生惊讶的是，美国老师这么不带讨论不带提问引导的，就是把概念扔出来，学生怎么能理解。
美国学生惊讶的是，你们这些老师从头到尾都没说清楚解题步骤和概念的含义，就这么不停问问题，让学生自己凑答案，也能算是教书？
各种研究表明，老师的教学方法基本上就是延续自己上学的时候被教的方法，自己小时候怎么学的，长大了以后也就怎么教。所以这俩截然不同的教学方法，估计还会继续传下去。
如何对待错误的答案
我的博士生导师带着我们一帮人，专门做过一系列研究，就是比较中美的小学数学老师在课堂上如何跟小朋友进行问答，特别是小朋友回答错误的时候，老师如何应对。其实两国老师的应对，跟他们怎么介绍新概念，还是挺有一致性的。
美国的老师，如果一个小朋友回答错了，一般就直接说哦，其实正确的方法应该是如何如何，自己解释一遍。最多再问另外一个小朋友应该是什么答案，反正就是直奔正确答案，对错误答案没任何再追问。
中国老师就完全不一样了，一个小朋友答错了，不管问不问其他小朋友，都会再把注意力引回第一个错误答案，让全班（或者个别的其他同学）判断第一个答案是否正确，如果不对的话，错哪儿了。中国老师会具体到细小的一个步骤，分析这个错误可能是哪个概念没理解透。然后再回到第一个回答错误的小朋友那儿，问他/她现在知不知道为什么错了，应该是怎么解答。
中国老师会揪着错误反复分析，但目的并不是给回答问题错误的小朋友难堪，而是把错误的原因，潜在的概念理解错误给找到，然后对症下药。
这两种截然不同的对待错误的方法，哪种更有利于学生进步，虽然还没有进一步的对比实验，但是根据咱们之前在介绍学习的信心，对自己能力的认识的时候提到的理论，应该不难预测哪种方法更有利于学生从错误中进步。
美国的数学教育研究
美国的研究体系
以下列举近二三十年来美国幼小数学教育领域方面的一些研究成果。
成果
关于数学教学方法：
manipulative：可以让小朋友摆弄的实物教具，不会阻碍小朋友理解抽象的逻辑思维和解题方法。相反，通过manipulative学习的小朋友，因为对自己的数学理解有充分的信心，在之后的数学学习中更容易研究出/理解抽象和复杂的解题方法，而不只是按部就班的按公式解题。
怕小朋友用在最初阶段用实物解题，担心会阻碍小朋友的抽象思维形成，而硬性地过早的给小朋友灌输公式和复杂的解题方法，反而阻碍了小朋友对数的理解，加大了之后的抽象思维和数学学习的难度。
flash cards(闪卡）这种死记硬背的模式，虽然没坏处，但是对于数学学习也没帮助。因为小朋友的记忆过程中没有理解的因素，记住的内容也只能运用在死记硬背的问答中，一旦问题的形式有任何变化，小朋友没办法把记住的内容灵活运用到其它问题中。
number line(数轴），只有在给小朋友可以自己动手比划，对准数字，把具体的比划和写等式这两项联系起来的情况下，才有助于小朋友对数的理解。如果只是挂墙上让小朋友看着做算术，小朋友会更懵。
虽然flashcard死记硬背没用，但是速算（计时练习）益处多多。在小朋友通过理解掌握了加减法的规律后，提高计算速度有利于熟悉计算规律和熟记20以内的加减组合。
subtizing：看数，就是根据物体的摆放规律，或者某个数目的实物的常见摆放，一眼看出来是几个，而非一个个数出来。
看数是小朋友最早接触数学时的认数方法。很多小朋友一两岁的时候可以知道一个、两个、三个，但是数不出来4，5，6个，因为小朋友认1，2，3是把实物的摆放像认abc那么认出来的，不是数出来的，所以再多了就不行了，因为压根不会数。
看数其实是对数学学习和数感培养很有效的数字理解和认识方法，但是往往不被老师和家长所知，所以越后来越被压抑了。
举个例子，小朋友如果能一眼看出3个，4个，数过几次得出来3 4=7之后，以后再看3和4，不用数，能通过视觉记忆知道是7。
这种看数还可以延伸到位值的理解和应用（凑十，或者对十几这种数的理解）。
但是老师，特别是美国老师，只强调数数，无论加减还是认数都让小朋友去数，小朋友这种subtizing的认数能力被压抑，到最后基本就消失了。对数的形象理解减弱了，还有很多简便算法的理解也变的困难了。
数学题/数学书中跟题目本身无关的插图，对小朋友解题没有帮助。小朋友或者会自动忽略这些无关的插图，或者被这些插图误导以为跟题目有关，都无意于数学学习。所以在编数学题/数学书的时候，应该避免这种纯装饰性的插图。
关于游戏以及在玩中学习：
在游戏过程中，为了想赢，小朋友会主动地提高自己的注意力和行为控制能力，游戏中的思维会比平时的日常行为更认真更积极用心。
但是，不是随便什么形式的玩都对数学学习有帮助的。有些家长以为生活中反正渗透了数字和数学，所以小朋友会自己留心自然而然的从中学习到数学知识。并非如此，对于小朋友，如果没有其他人的引导，他们很难主动留意到关于数的信息。不带任何引导的所谓“发掘性学习”对小朋友的数学学习没有帮助。
对小朋友数学学习最有效的方法，是带引导性的开放型问题。一方面给小朋友设置好某个知识点的学习环境，在需要的时候提供指引和解释，一方面给小朋友自己寻找解题方法的自由空间，最佳的是再提供小朋友之间的讨论和互相帮助的机会。
开放型的问题，加上允许小朋友自己开发解题方法的自由，无论对于成绩落后学习困难（atrisk)，成绩普通，还是天才班（gifted)的小朋友，都是最好的学习方式。因为小朋友可以把解题方法建立在自己已有知识体系上，保证了小朋友不是凭空地模仿某种解题方式，而是真正理解了其中的数学含义。
数学学习的兴趣和主动性
除了之前提到的引导小朋友认识到学习是一个进步的过程，以及学会客观的分析自己的能力，各种专门针对数学学习的研究还表明，以下做法有助于增加小朋友对数学学习的积极主动性和兴趣。
把数学题设置在小朋友感兴趣，能理解的情景里。
允许小朋友自己发明，解释，使用他们自己的解题方法，并对自己的方法成不成功做出评论和改进。
鼓励小朋友逐步地采取更有效/简便的解题方法，让他们理解到数学的乐趣和意义。
帮助小朋友认识到不同数学概念之间的联系，而不是单一的独立的一串定义和公式。
老师（美国）和家长在幼小阶段对小朋友数学学习的作用
美国的幼儿园和小学低年级的老师，对阅读和写作的重视度和教学时间远远高于数学。
美国的家长，同样的对阅读和写作的重视度和帮助小朋友学习时间远远高于数学。他们认为学会阅读是所有学科的基础。
中国家长认为阅读和数学同样重要。
家庭中最基本的数学活动，比如数数，比大小，比多少，对加减法基本概念的解释，学习时间，钱币等等，都密切的影响到小朋友（特别是女生）的数学能力。
统计数据表明，家长跟小朋友进行的数学相关的互动（学习，游戏，聊天，生活中的小活动）越多，小朋友之后的学习成绩越好。
但是，家庭中零星断断续续的间接数学活动，与小朋友的数学成绩直接并没有直接的正向联系。有计划性的，由浅入深地，难度渐进的引导性的数学活动才最有力于小朋友的数学学习。
本文转载自公众号：小灯塔的三十六计
2017
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